等比的前n项和公式全部 等比公式前n项求和公式推导

等比数列的前n项和公式是什么

(3).根据第二题已证明的式子，a(n+1)-600=1/2(an-600)∴==8.

当q=1时，

等比的前n项和公式全部 等比公式前n项求和公式推导

2、Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

Sn=na1

当q不为1时，

Sn=(a1/(1-q))(1-q^n)

等比数列前n项和公式具体是什么？

等比数列前n项和

解：∵=q ∴an+2=anq，

.前n项和公式

若数列｛an｝是公比为q的等比数列，则它的前n项和公式是

也就是说，公比为q的等比数列的前n项和是q的分段函数，分段的界限在q=1处.

当q≠1时，求等比数列前n项和Sn的方法一般是利用Sn的表达式的特点，首先在Sn=a1+a1q+…+a1qn-1两边同乘以该数列的公比q，使得等式右边各项都向右错了一位；然后通过求Sn-qSn把相同的项消去，达到简化的目的；从中解出Sn.这种方法(俗称“错位相减法”)很巧妙，而且对这类数列的求和具有普遍性，应该很好地掌握它.

求等比数列前n项和的方法还有一些，下面再介绍其中的一种：

当q=1时，Sn=na1

当q≠1时，

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1

=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1)-a1qn

=a1+q·Sn-a1qn

=a1(1-qn)+q·Sn

∴(1-q)Sn=a1(1-qn),

∴Sn=.

在具体运用等比数列前n项和公式时如果考虑不周常会出错.例如，求和：1+x+x2+…+xn，认为其和为是错误的.

【重点难点解析】

本节重点是等比数列前n项和公式及其应用.难点是求和公式的推导.等比数列前n项和公式要注意对公比q进行讨论，分q=1和q≠1两种情况.求等比数列前n项和的思想和方法在求一些特殊数列的前n项和中经常运用到.

例1 设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若

S3+S6=2S9，求公比q的值.

分析 本题主要考查等比数列求和公式的基础知识，逻辑推理能力和运算能力.在求解中要全面考虑公式q=1和q≠1两种情况，否则就会造成失误.

解法一：若q=1，则S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9,

所以q≠1.依等比数列前n项和公式有

+=,

整理得q3(2q6-q3-1)=0.

因为q≠0，所以2q6-q3-1=0,

(q3-1)(2q3+1)=0.

因为q≠1，所以q3≠1,所以q3=-，

解法二：因为S3+S6=2S9，所以

2(a1+a2+a3)+a4+a5+a6=2(a1+a2+a3+…+a9),

此即-(a4+a5+a6)=2(a7+a8+a9)，

-(a4+a5+a6)=2q3(a4+a5+a6)，

评析 在对等比数列前n项和公式的运用中，要注意充分运用整体代入的方法，如解法二中就利用了a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)这一性质，使运算量减少，也避免了q的讨论.

例2 设等比数列的首项为a(a＞0)公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q.

解：由Sn=80,S2n=6560,故q≠1

化简得

∴有③

知∵a＞0，q＞1q=-=-.，等比数列递增数列，故前n项中项为an.

∴an=aqn-1=54 ④

化简得3a=2q ⑥

由⑤，⑥联立方程组解得a=2,q=3

例3 等比数列｛an｝的前n和等于2，紧接其后的2n项和等于12，再紧接其后的3n项和为S，求S.

分析 本题主要考查等比数列前n项和公式的应用.本题实际为已知Sn=2，S3n-Sn=12，要求S6n-S3n的值.由等比数列知，前n项成等比数列，紧接其后的2n项也成等比数列，再紧接的3n项也成等比数列，可分别求和列方程.

解：在等比数列将③代入①化简得a=q-1 ⑤中，依次每k项之和仍成等比数列.设前n项和为S1，第2个n项和为S2=S1q，

将q=2代入③式得S=112，将q=-3代入③式得S=-378.

例4 求数列1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…(a≠0)的前n项和Sn.

分析 要求数列前n项的和，必须先求出数列的通项公式.

解：据题设条件分析可知：

an=an-1+an+an+1+…+a2n-2

①当a=1时，an=n,∴Sn=.

②当a≠1时，Sn==-.

(1)当a≠±1时，Sn=［-］

=［(1-an)(1-an+1)］

(2)当a=-1时，Sn=［+n］

评析 ①由于通项公式本身是一个等比数列的求和，而公比是字母a，故必须分两种情况(a=1及a≠1)来讨论.

【难题巧解点拨】

例1 设等比数列｛an｝的公比与前n项和分别为q与Sn，且q≠1,S10=8.求的值.

分析 一个条件不能确定a1与q.不妨将S10与S20用a1、q表示出来，进行对比，兴许有点门道.

评析 一些数列问题中的基本量难以确定或不能确定时，不妨设而不求，整体代换.其实，本题尚有以下巧解：

=S10+q10S10=S10(1+q10),

故=S10=8.

例2 设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，求证：S2n+S22n=Sn(S2n+S3n).

分析 从整体结构入手，寻找Sn、S2n、S3n之间的关系，作计算，不仅简便，而且求解过程完备.

解：设｛an｝的公比为q,则

S3n=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+q2n)

∴S2n+S22n-Sn(S2n+S3n)

=S2n+S2n(1+qn)2-S2n［(1+qn)+(1+qn+q2n)］

=S2n+S2n(1+qn)2-S2n［1+(1+qn)2］

=0

∴S2n+S22n=Sn(S2n+S3n).

评析 本题的结论是等比数列的又一性质：(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.

例3 已知数列｛an｝满足条件：a1=1,a2=r(r＞0)，且｛anan+1｝是公比为q(q＞0)的等比数列.设bn=a2n-1+a2n，求数列｛bn｝的前n项和Sn.

分析 =q=q=q.

且q≠0,b1=1+r≠0

∴｛bn｝是首项为1+r，公比为q的等比数列，

评析 解题的关键是等比数列｛bn｝的发现，只要紧抓等比数列的定义来分析，就能使隐含着的条件显露出来，促成问题的快速解决.

希望能帮到你，满意望采纳哦。

首先，你用等比数列前N项和，前提就是Q不等于-1，然后，若Q=-1，则为摆动数列，即正负交替，比如2，-2，2，-2，2，-2……Sn=0，S2n=0,S3n=0,成立啊

解：由等比数列可得

a1=1，a4=1x(q)^(4-1)=1/8

解：q=1/2

所以首项为1，公比为1/2的等比数列，

sn=(1-1/2^n)/(1-1/2)

所以带入sn公式可得sn=[1(1-1/2^10)]/(1-1/2)=2-1/512=1023/512

Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q) 为等比数列 而这里n为未知数 可以写成F（n）=[a1(1-q^n)]/(1-q) 当q=1时 为常数列 也就是 n个a1相加为

(1).a(n+1)=(1-%20)an+30%bn

(2).bn=1000-an

则a(n+1)=(1-20%)an+30%(1000-an)=1/2an+300

得到{an-600}是以1/2为公比的等比数列，an-600=(a1-600)(1/2)^(n-1)

an=(a-600)(1/2)^(n-1)+600

等比数列前n项和公式是什么？

解：∵=8,

等比数列前n项和公式为：

1、Sn=na1(由②式得q+q2=6，所以q=2或q=-3.q=1)

=②在进一步求和时，由于又出现公比为a2的等比数列求和，故又得分a2=1及a2≠1来讨论，由于a=1已讨论，因此本题应分a=1，a=-1，a≠±1三种情况来讨论.(a1-a1q^n)/(1-q)

=a1/(1-q)-a1/(1-q)q^n ( 即a-aq^n)

(前提：q不等于 1)注意：以上n均属于正整数。

扩展资料

等比数列性质

1、若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等，公为log以a为底q的对数。

2、等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)

注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

参考资料来源：

等比数列前n项和公式分别是？

等比数列在生活中常常运用，如：银行有一种支付利息的方式——复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期。

等比数列前n项和公式：Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。 推导如下：

∴===q,

因为an = a1q^(n-1)

所以baiSn = a1+a1q^1+...+a1q^(n-1) (1)

qSn =a1q^1+a1q^2+...+a1q^n (2)

（1）-（2）注意（1）式的项不变。

把（1）式的第二项减去（2）式的项。

把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。

以此类推，把（1）式的第n项减去（2）式的第n-1项。

（2）式的第n项不变，这叫错位相减，其目的就是消去这此公共项。

于是得到

(1-q)Sn = a1(1-q^n)

即Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。

扩展资料：

（1）若m、n、p、q∈S20=S10+a11+a12+…+a20N+，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。

（3）若“G是a、b的等比中项”则“G2=ab（G≠0）”。

等比前n项和的公式

等数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等数列的公，公常用字母d表示。

an=a1+(n-1)d=ak+(n-k)d。

（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

ak=an-(n-k)d，d=(an-ak)/(n-k)，a(n+k)=(nan-kak)/(n-k)，a(n+m)=(nan-mam由此解得q3=-,q=-.)/(n-m)，Sn=n(a1+an)/2=na1+(n(n-1)/2)d。

n+m=r+p=>an+am=ar+ap，S(n+m)=(n+m)(an+am)/2，S(3m)=3(S(2m)+Sm)等比数列公式an=a1q^(n-1)=akq^(n-k)，ak=an/q^(n-k)，a1=an/q^(n-1)，q=±(an/ak)^(n-k)=±(an/a1)^(n-1)，a1q^n=anq=a(1+k)q^(n-k)，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，(a2+a3+a4)/(a1+a2+a3)=q。

等比数列前n项和的公式是什么？

在等比数列中，首项A1与公比q都不为零S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn)。

等比数列前n项和公式有

Sn=a1(1-qn)/1-q

Sn=a1-anqn/1-q

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列。

拓展资料:3、由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

例如：1,3,5,7,9……2n-1。通项公式为：an=a1+(n-1)d。首项a1=1，公d=2。前n项和公式为：Sn=a1n+[n(n-1)d]/2或Sn=[n(a1+an)]/2。注意：以上n均属于正整数。