一元二次方程判别式_一元二次方程判别式小于零时的解

一元二次方程根的判别式

一元二次方程的判别式。

类型一：根据一元二次方程根的个数确定△的范围，然后算出参数的取值范围。

一元二次方程判别式_一元二次方程判别式小于零时的解

2.当m ＞ 0时，分类讨论

类型二：根据题上告诉的一元二次方程，判断根的个数或者证明根的个数。

此类型的题通常是先求出△，△的表达式中通常含有一个未知数，把△的表达式进行配方就能判断出△＞、＜、≥还是≤0，然后就能确定根的个数了。

一元一次方程的应用主要学习有关一元二次方程的实际生活问题，重点掌握典型类型应用题的解法和解决应用题的步骤。

当然其前提是要对一元二次方程的解法有前面的了解，并且在解方程的过程当中能够选择合适的方法，尽快解除未知数的大小这是最为基础的内容。对于一元二次方程的应用题型当中每一类型的解题方法以及分析的技巧都需要同学们进行理解其分析过程中所使用的方法以及解题的技巧。

一元二次方程有虚数解吗？

一元二次方程虚根的求根公式是“ax^2+bx+c=0”，详细介绍如下：

一、一元二次方程的定义和形式：

一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数系数，且a≠0，一元二次方程的解即为使得方程成立的x的值。

当一元二次方程的判别式Δ<0时，方程无实数根，但可以求得方程的虚根。虚根可以用如下公式求得x=(-b±√(4ac-b^2))/(2a)，虚根是指方程的解不是实数而是复数。复数由实部和虚部组成，实部为0，虚部为非零。

四、拓展知识：

虚数与虚根虚数是指不能表示为实数的数，虚数单位定义为虚数的形式bi，其中b为实数，虚数可以表示为实部为0的复数，虚根是指一元二次方程无实数根，但可以用虚数一元二次方程判别式：表示的根，虚根是复数，由实部和虚部组成。

复数与复根复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a和b为实数，而i为虚数单位，复根是指一元二次方程的根是复数的情况。虚根是复数的一种特殊情况。

虚根的性质与应用虚根具有一些特殊的性质，一元二次方程的虚根总是成对出现，虚根可以用来求解一些实际问题，例如在物理学中，复数和虚根常常用来描述振动波动等现象，虚根在工程以及经济学等领域中也有一些应用。

一元二次方程的根是什么?

二、一元二次方程的判别式：

一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值。

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。

用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为一般形式。

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边。

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数。

⑤进一步通过直接方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是已知常数，且 a ≠ 0。这个方程的根是指满足方程的解，即使方程等号两边相等成立的 x 值。

一元二次方程的解可以有三种情况：

1. 有两个不同实数根：当 b^2 - 4ac > 0 时，方程有两个不同的实数根。这两个根可以通过求根公式得到：

x = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a) 和 x = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

2. 有一个重根：当 b^2 - 4ac = 0 时，方程有一个重根，即只有一个实数解。这个根可以通过求根公式得到：

x = -b / (2a)。

3. 没有实数根：当 b^2 - 4ac < 0 时，方程没有实数解，即方程在实数范围内无解。

总结一下，一元二次方程的根取决于方程的系数 a、b、c，当然也要考虑判别式 b^2 - 4ac 的值。通过求根公式可以得到方程的解，这些解即为方程的根。

当涉及一元二次方程的解时，还有一些扩展相关内容：

1. 实数根和复数根：一元二次方程的解可以是实数根或复数根。如果方程的判别式 b^2 - 4ac 大于等于零（即 b^2 - 4ac ≥ 0），则方程有实数根；如果判别式小于零（即 b^2 - 4ac < 0），则方程有复数根。

2. 方程的图像：一元二次方程的图像是一个抛物线。对于 a 的正负情况，抛物线开口的方向有所不同：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。方程的解可以通过抛物线与 x 轴交点的位置来确定。

3. 方程的判别式：判别式是用来判断一元二次方程有几个实数根的关键。判别式的值可以分为三种情况：如果判别式大于零（b^2 - 4ac > 0），方程有两个不同实数根；如果判别式等于零（b^2 - 4ac = 0），方程有一个实数重根；如果判别式小于零（b^2 - 4ac < 0），方程没有实数解。

4. 方程的求解方法：一元二次方程可以使用多种方法求解，如因式分解法、配方法、求根公式等。根据具体的系数值和求解的需求，选择合适的方法可以简化计算过程。

5. 二次需要注意的是，方程可能还存在复数解，但在一元二次方程的讨论中，通常只考虑实数解。函数的性质：一元二次方程代表了二次函数，这个函数有一些重要的性质。例如，二次函数的顶点对应于方程的解，函数的对称轴与 x 轴的交点即为判别式 b^2 - 4ac 的根。此外，二次函数在顶点处达到最值，其中 a 的正负决定了最值的性质。

这些扩展内容可以更深入地理解一元二次方程及其解的特性，希望对你有所帮助！

一元二次方程的根是指满足方程条件的数。当△＞0时，一元二次方程在实数域里的根有两个。当△＝0时，一元二次方程在实数域里的根有一个。当△＜0时，一元二次方程在实数域无解，但在虚数域里有两个共轭复根。

一元二次方程的一般形式是：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是实数且a不等于0。

一元二次方程的根可以通过求解方程的解析解或使用求根公式来获得。

方程的解析解可以通过完成平方来得到，具体步骤如下：

1. 计算判别式（discriminant）Δ = b^2 - 4ac。

x2 = (-b - √Δ) / (2a)

3. 如果Δ等于0，则方程有一个实根。根可以通过以下公式计算：

x = -b / (2a)

4. 如果Δ小于0，则方程没有实根，而是有两个复数根。复数根可以表示为：

x1 = (-b + i√(-Δ)) / (2a)

x2 = (-b - i√(-Δ)) / (2a)

这些根是方程的解，它们是使方程成立的x值。

一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的题目

①有两条解终边等价于δ＞0；②有一条解终边等价于δ＝0；③没有实数解等价于δ＜0。

解答如下：

先计算△ = 9 - 4（m - 1）= 13 - 4m

直接用求根公式得，x = （3 ± √（13 - 4m））/2

当0 ＜ m ≤ 13/4时，x = （3 ± √（13 - 4m））/2

当 一元二次方程ax+bx+c=0（a不等于0）的根与根的判别式有如下关系：△=b2-4ac。m ＞ 13/4时，方程无解。

一元二次方程怎么算

2. 如果Δ大于0，则方程有两个实根。根可以通过以下公式计算：

一元二次方程计算方法有：直接方法、配方法、公式法、因式分解法。

直接方法：直接方法就是用直接方求解一元二次方程的方法。用直接方法解形如（x-m）2=n（n≥0）的方程，其解为x=±根号下n+m.

配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式x=[-b±（b^2-4ac）^（1/2）]/（2a），（b^2-4ac≥0）就可得到方程的根。

因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

发展简史：利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。

通过分析古巴比伦泥板上的代数问题，可以发现，在公元前2年古巴比伦人就已经掌握了与求解一元二次方程相关的代数学知识，并将之应用于解决有关矩形面积和边的问题。相关的算法可以追溯到乌尔第三王朝。

在发现于卡呼恩（Ka）的两份古埃及纸草书上也出现了用试位法求解二次方程的问题。

公元前300年前后，活跃于古希腊文化中心的数学家欧几里得（Euclid）所著的《几何原本》（Euclid’s Elements）中卷II命题5、命题6以及卷VI命题12、命题13的内容相当于二次方程的几何解。

继欧几里得之后，数学发展第二次“白银时代”的代表人物丢番图（Diophantus）发表了《算术》（Arithmetica）。该书出现了若干二次方程或可归结为二次方程的问题。

一元二次方程判别式推导过程

x1 = (-b + √Δ) / (2a)

关于“一元二次方程判别式推导过程”如下：

对于直接方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成x1=x2=a的形式，其他的都是比较简单。

1、由ax^2+bx+c（一元二次方程的基本形式）推导根公式，ax^2+bx+c=0（a≠0，^2表示平方），等式两边都除以a，得x^2+bx/a+c/a=0。

2、移项得x^2+bx/a=-c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的一半的平方，即方程两边都加上b^2/4a^2。

3、配方得x^2+bx/a+b^2/4a^2=b^2/4a^2-c/a，即（x+b/2a）^2=（b^2-4ac）/4a。

4、开根后得x+b/2a=±[√（b^2-4ac）]/2a（√表示根号），最终可得x=[-b±√（b^2-4ac）]/2a。

一、一元二次方程

通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。

1、因式分解法

如果方程可以因式分解成两个一次因式的乘积，则可通过将每个一次因式分别置零求解得到方程的解。

对一个二次三项式，可以利用完全平方公式，将其表示为一个平方项加上一个常数项，然后整理可得到方程的标准形式，并求解。

3、配方法

当不能直接使用因式分解法时，可以通过配方法将一元二次方程转化为一个完全平方式或者去掉一次项。通常配方法需要进行某些代数性质变形来达到目的。

使用求根公式x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a)，来求解二次方程，其中a,b,c分别为二次、一次和常数项系数。但需要注意这个公式只适用于满足b^2-4ac＞0的情况下。

一元二次方程的根的判别式是什么？

一元二次方程的判别式是指Δ=b^2-4ac，其中Δ表示方程的根的性质。当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，当Δ<0时，方程无实数根。

一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是b^2-4ac，用“Δ”表示(读做“delta”)。

根的判别式是判断方程实根个数的公式，在解题时应用十分广泛，涉及到解系数的取值范围、判断方程根的个数及分布情况等。

当<0时，一元二次方程是没有实数根的，这时在实数范围内，就不需要继续运用完整的公式去求根了，只需要说明“方程没有实数根”就可以了。

当=9则一元二次方程有两个相等的实数根,因为9的使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根（root）。乎方根仍是0因此方程的根是x5-bl(2a)，正好是对应的抛物线y=ax~23bxtc.的对称轴的形式。

只有当>0时，一元二次方程有两个不等的实数根，才需要用到整个求根公式。这时只要把方程的三个参数代入就可以了

一元二次方程ax^2+ bx+ c=0（ a=0）的根的判别式是

一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是b^2-4ac，用“Δ”表示(读做“delta”)。

一元二次方程判别式的应用

（1）解方程，判别一元二次方程根的情况．

它有两种不同层次的类型：

①系数都为数三、一元二次方程虚根的求根公式：字；

②系数中含有字母；

③系数中的字母人为地给出了一定的条件．

（2）根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母的取值范围或字母间关系．

（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）

判别式法

代数判别式（△法）和三角判别法（δ法），它们是二次方程ax^2 + bx + c = 0和三角方程asinx + bcosx = c的根的判别定理。

其来源是二次函数y = x^2和三角函数y = sinx的值域。

1、代数判别式法（△法）

设f（x）＝ax^2 + bx + c（a≠0），则△＝b^2 - 4ac叫做二次方程f（x）＝0或二次函数f（x）的判别式。

判别定理：实系数二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）根的情况分类如下：

①△＞0等价于有两个不相等的实数根；②△＝0等价于有两个相等的实数根；③△＜0等价于有共轭二虚根。

应用判1、直接方法。别式△解题的方法叫做代数判别式法，简记为△法。

2、三角判别法（δ法）

δ＝a^2 + b^2 - c^2叫作三角方程asinx + bcosx = c（a^2 + b^2≠0）的判别式。

判别定理：三角方程asinx + bcosx = c（a^2 + b^2≠0）在x∈R上有解得情况分类如下：

应用三角判别式δ或根据∣sinx∣≤1 ,∣cosx∣≤1解题的方法叫做三角判别法（δ法）。

如何解一元二次方程呢？

1.当m ＜ 0时，△为正数，所以有两个不相等的实数根

一元二次方程的5种解法如下：

2、配方法。

在化成直接方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是则利用直接方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解。

3、公式法。

公式法是解一元二次方程的根本方法，没有使用条件，因此是必须掌握的。用公式法的注意事项只有一个就是判断“△”的取值范围，只有当△≥0时，一元二次方程才有实数解。

4、因式分解法。

因式分解，在初二下学期的时候重点讲了，之前也有相关的文章，重要性毋庸置疑，在一元二次方程里，因式分解法用的还是挺多的，难度非常容易调节，所以也是考试出题老师非常喜欢的一类题型。

5、图像解法。

一元二次方程ax2+bx+c=0的根的几何意义是二次函数y=ax2+bx+c的图像（为一条抛物线）与x轴交点的x坐标。

当△＞0时，则该函数与x轴相交（有两个交点）。

当△=0时，则该函数与x轴相切（有且一个交点）。

当△＜0时，二、解一元二次方程的常见方法则该函数与轴x相离（没有交点）。

①当△>0时，方程有两个不相等的实数根。

②当△=0时，方程有两个相等的实数根。

③当△<0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。