余弦定理的证明方法 余弦定理的证明方法都有哪些

三余弦定理的证明

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

三余弦定理是针对任意三角形的一个几何定理，可以用来计算三角形的边长或角度。以下是三余弦定理的证明：

余弦定理的证明方法 余弦定理的证明方法都有哪些

用三角函数证明！

假设有一个三角形 ABC，其中 BC 的长度为 a，AC 的长度为 b，AB 的长度为 c，而角 A、角 B、角 C 分别对应于边 BC、AC、AB。

+DC2

根据余弦定理，我们知道：（1）在三角形 ABC 中，余弦定理可表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(C)；（2）在三角形 BAC 中，余弦定理可表示为：b^2 = a^2 + c^2 - 2accos(A)。

将（2）式代入（1）式中：

化简得到：

这就是三余弦定理的证明。根据该定理，我们可以在已知两边长度和夹角的情况下，求解三角形的第三条边长。或者，在已知三边长度的情况下，计算三角形的一个内角。

在证明三余弦定理时的注意事项

1、使用余弦定理：三余弦定理的证明是基于余弦定理的推导过程。确保你熟悉余弦定理的表达式和应用。

2、注意符号约定：在使用余弦定理时，确保对边长和角度的符号有清晰的约定。比如，是否使用大写字母表示角度，小写字母表示边长，以及边长是否与角度在同一边等。

3、应用正确的三角形：在应用余弦定理时，确保选择正确的三角形来代入公式。根据需要计算的边长或角度，选择一个适当的三角形。

4、正确定义夹角：确保所定义的夹角与需要计算的边长或角度对应。夹角的选择可能会影响最终的计算结果。

5、代入正确的公式：根据你的推导过程和所需的计算结果，选择正确的公式进行代入。记住，三角形有三个角，因此有多种组合可以应用余弦定理。

6、简化运算：在推导过程中，要善于利用三角函数之间的恒等关系或数学性质，化简运算，使证明过程更加简单清晰。

7、检查最终结果：在完成证明后，再次检查结果是否与预期的三余弦定理相匹配。确保符号和运算都正确无误。

向量方法证明余弦定理源于哪一年

证明（1）

1773年。余弦定理是三角学中的一个重要定理，用于计算三角形中的边长和角度。它最早的证明方法是向量方法，由法国数学家拉格朗日在1773年提出。拉格朗日使用向量的概念，将三角形的边和角表示为向量，然后利用向量的内积和模长的关系=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)，推导出余弦定理的公式。因此，可以说余弦定理源于1773年，是由拉格朗日使用向量方法证明的。

已知三角形的三条边长分别是a、b、c，则三角形的面积：

求向量夹角余弦公式证明

则要证s =

证明过程如下图所示：

△＝根号下s(s-a)(s-b)(s-c) 其中s=1/2(a+b+c)

向量的夹角是平面或空间中两非零向量间的夹角.设a，b是两个非零向量，自任意一点O作

则由射线OA和OB构成的角称为向量a与b的夹角，记为∠(a，b)。若a与b同向，则∠(a，b)=0；若a与b反向，则∠(a，b)=π；若a与b不平行，则∠(a，b)∈(0，π)。

在空间直角坐标系中，已知向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，那么这两向量的夹角∠(a，b)可由下式惟一确定：

（此公式是求角的重要依据）

零向量与任一向量的夹角不确定

扩展资料实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ||a|。

当λ>0时，λ因此三角形的面积S为a的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

如何证明三角形的正弦定理、余弦定理

的平方，利用向量的三角形法则，由

设任意三角形△ABC，角A、B、C的对边分别记作a、b、c，则可得到正弦定理、余弦定理的公式及其推论如下。

正弦定理公式及其推论

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等。

正弦定理公式、余弦定理公式

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。

【注1】其中“R”为三角形△ABC外接圆半径。下同。

【注2】正弦定理适用于所有三角形。初中数学中，三角形内角的正弦值等于“对比斜”仅适用于直角三角形。

二、正弦定理推论公式

1、（1）a=2RsinA；

（2）b=2RsinB；

（3）c=2RsinC。

2、（1）a:b=sinA:sinB；

（2）a:c=sinA:sinC；

（3）b:c=sinB:sinC；

（4）a:b:c=sinA:sinB:sinC。

【注】多用于“边”、“角”间的互化。

三角板的边角关系也满足正、余弦定理

3、由“a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R”可得：

（1）(a+b)/(sinA+sinB)=2R；

（2）(a+c)/(sinA+sinC)=2R；

（3）(b+c)/(sinB+sinC)=2R；

（4）(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R。

正弦定理推论公式

4、三角形ABC中，常用到的几个等价不等式。

（1）“a>b”、“A>B”、“sinA>sinB”，三者间两两等价。

（2）“a+b>c”代入解得s=8√等价于“sinA+sinB>sinC”。

（3）“a+c>b”等价于“sinA+sinC>sinB”。

（4）“b+c>a”等价于“sinB+sinC>sinA”。

5、三角形△ABC的面积S=(abc)/4R。其中“R”为三角形△ABC的外接圆半径。

部分三角函数公式

余弦定理公式及其推论

余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

一、余弦定理公式

（1）a^2=b^2+c^2-2bccosA；

（2）b^2=a^2+c^2-2若BD=u，DC=v,AD=t.则accosB；

（3）c^2=a^2+b^2-2abcosC。

【注】余弦定理及其推论适用于所有三角形。初中数学，三角形内角的余弦值等于“邻比斜”仅适用于直角三角形。

余弦定理公式及其推论公式

二、余弦定理推论公式

1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc；

2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac；

3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。

三角形的正弦定理和余弦定理公式及其推论常用来解三角形。对于某些复杂题，需要把正弦定理和余弦定理及其推论综合起来运用。

【例题】已知三角形△ABC中，角A=30°，a=2，求三角形△ABC外接圆的面积。

解：设三角形ABC外接圆半径为R，

根据正弦定理得：a/sinA=2R，

所以R=a/(2sinA)=2，

所以，三角形ABC的外接圆面积S=4π。

关于正弦定理和余弦定理的所有公式

勾股定理

余弦: cosα=(B^2+C^2-A^2)/2BC

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}

co=(A^2+C^2-B^2)/2AC

证法：

cosc=(A^2+B^2-C^2)/2AB

正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc，余弦定理cosa=(b^2+c^-a^2)/2bc，co，cosc，同理可得

高数.怎么用向量的向量积证明余弦定理？

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，

余弦定理是指在一个任意三角形ABC中，设AB=c, BC=a, AC=b，夹角A对应的角度为α，则有：

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)

下面我们可以使用向量的向量积来证明余弦定理。

我们可以将三角形的三个边向量表示为向量OA=a, OB=b和OC=c，其中O为任意点。

现在，我们可以使用向量的向量积定义来计算夹角BAC的正弦值，如下所示：

|a × b| = absin(α)

其中，a × b表示向量a和b的向量积，|a × b|表示它们的模，即|a × b| = |a| |b| sin(α)。

同样地，我们可以使用向量的点积定义来计算向量a和b的夹角余弦值，如下所示：

a · b = |a||b|cos(α)

其中，a · b表示向量a和b的点积，|a|和|b|分别表示它们的模，即|a||b|cos(α) = a · b。

现在，我们可以根据向量的向量积和点积的定义来计算向量OA和OB的夹角余弦值cos(α)：

cos(α) = (a · b) / (|a| |b|)

cos(α) = (a · b) / (ab)

cos(α) = (a · b) / (|a| |b|)

cos(α) = (a · b) / (|a| |b|)

由于三角形的向量表示可以选择任意点，所以我们可以选择点O使向量OA与向量OB重合，因此，a · b = |a||b|，将其代入上式，得到：

cos(α) = (a · 与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为b) / (ab) = 1

因此，我们得到了余弦定理的结果：

cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)

这样，我们就用向量的向量积证明了余弦定理。

怎样用解析几何中的两点间距离公式来证明余弦定理

∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

(d^2)=((acos(α)-bcos(β))^2)+((asin(α)-bsin(β))^2)

= 2R^2sinAsinBsinC

=(a^2)((cos(α))^2)+(b^2)((cos(假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：β))^2)+(a^2)((sin(α))^2)+(b^2)((sin(β))^2)-2abcos(α)cos(β)-2absin(α)sin(β)

=(a^2)+(b^2)-2abcos(α-β)

=(a^2)+(b^2)-2abcos(θ)

正余弦定理内容及所有的证明方法

余弦定理

是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。该图中，a与b应互换位置

对于

任意三角形

三边∴a^2=(b-c)^2 （证明中a,b,c皆为向量，^2为平方）为a,b,c

三角为A,B,C

满足性质

a2=b2+c2-2bcCosA

b2=a2+c2-2acCosB

c2=a2+b2-2abCosC

CosC=(a2+b2-c2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

证明：

∵如图，有a→+b→=c→

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2=(a^2+b^2-c^2)/2ab+2|a||b|Cos(π-θ)

整理得到c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了

三角函数公式

）再拆开，得c2=a2+b2-2abCosC

同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

平面几何

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosBc，AD=sinBc，DC=BC-BD=a-cosBc秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，方后即得面积。

根据

可得：

AC2=

AD2

b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2

b2=sin2Bc2+a2+cos2Bc2-2accosB

b2=(sin2B+cos2B)c2-2accosB+a2

b2=c2+a2-2accosB

cosB=(c2+a2-b2)/2ac

从余弦定理和

余弦函数

的性质可以看出，如果一个三角形两边的

平方和

钝角

，如果大于第三边，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长

取值范围

。注：a^2；b^2；c^2就是a的2次方、b的2次方、c的2次方；ab、ac就是a乘b、a乘c

试用坐标法证明余弦定理．

有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是2=1

：解析： 探究：步：建立坐标系(不妨设ABC三点为逆时针方向) 以A为坐标原点，AB为x轴建立坐标系．则A(0，0)，B(c，0)． 第二步：用三角形的元素来表示各点的坐标 易得A(0，0)，B(c，0)．下面我们来确定C点的坐标，为此我们过点C作CD⊥x轴于D，我们对角A分锐角、直角、钝角三种情况来讨论，座标图如所示： 当∠A为锐角时，则点C(x，y)在象限内 x＝AD＝|bcosA|＝bcosA，y＝DC＝|bsinA|＝bsinA． 所以点C的坐标为C(bcosA，bsinA)； 当∠A为直角时，则点C(x，y)在y轴正半轴上C(0，b) 也可以表示成C(bcosA，bsinA)； 当∠A为钝角时，则点C(x，y)在第二象限内． |x|＝AD＝|bcos(π－A)|＝|bcosA|＝－bcosA ∴x＝bcosA，而y＝DC＝|bsinA|＝bsinA 所以点C的坐标为C(bcosA，bsinA)． 故无论∠A为锐角、直角、钝角，点C的坐标都为C(bcosA，bsinA)． 第三步：利用两点间距离公式建立等量关系 a2＝C正弦: A/sina=B/sinb=C/sinc=2R(A B C为角a b c所对的三边,R为三角形外切圆半径)B2＝(c－bcosA)2＋(bsinA)2 ＝c2－2bccosA＋b2cos2A＋b2sin2A ＝c2－2bccosA＋b2(cos2＋sin2A) ＝c2－2bccosA＋b2 同理：b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC完成证明． 探究小结：坐标法是将几何问题转化为代数计算的重要手段，通过建立平面直角坐标系，将图形中的点线关系的几何问题转换成对其坐标的代数运算处理．