极限等价替换公式大全 极限等价替换公式大全无穷大

等价无穷小是什么？

2、n(1/n^2)=1/n > 1/(n^2+派)+1/(n^2+2派)+....+1/(n^2+n派)>0

极限中的加减法在任何情况下都不能用等价无穷小替换。

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下面为大家带来几个例子

等价无穷小是无穷小的一种。在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。等价无穷小也是同阶无穷小，从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。

x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx;

求极限时，使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

扩展资料：

等价无穷小与同阶无穷小的区别：

1、定义

同阶无穷小：如果lim

F(x)=0，lim

G(x)=0，且lim

G(x)是同阶无穷小。同阶无穷小量，其主要对于两个无穷小量的比较而言，意思是两种趋近于0的速度相仿。

2、性质

等价无穷小的两个无穷小之比必须是1；

参考资料来源：搜狗百科-等价无穷小

等价无穷小是什么？

可能有人问那还有一个重要极限是什么

极限中的加减法在任何情况下都不能用等价无穷小替换。

等价无穷小是无穷小的一种。在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。等价无穷小也是同阶无穷小，从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。

求极限时，使用等价无穷小的条件：lim的基本计算公式：lim f(x) = A 或 f(x)->A(x->+∞)。

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

扩展资料：

等价无穷小与同阶无穷小的区别：

1、定义

同阶无穷小：如果lim

F(x)=0，lim

G(x)=0，例：y=sin（cosx），则y'=cos(cosx)(-sinx)=-sinxcos(cosx) 。且lim

G(x)是同阶无穷小。同阶无穷小量，其主要对于两个无穷小量的比较而言，意思是两种趋近于0的速度相仿。

2、性质

等价无穷小的两个无穷小之比必须是1；

参考资料来源：搜狗百科-等价无穷小

高等数学中所有等价无穷小的公式

4、arctanx~x

▄︻┻═┳一 根据arcsinx的泰勒公式，可以轻松得到为同阶不等价无穷小。x→0，时x→sinx ;

[(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→xx/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麦克劳林公式也是，

那个符号不好写，你课本上或者习题里有.例1 limx→0tanx-sinxx3

给你举几个利用无穷小的例子

例1 limx→0tanx-sinxx3

解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵ sinx～x,1-cosx～x22)=12

此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。

∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。

例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2

解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53

例3 limx→0(1x2-cot2x)

解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x

=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4

=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵ sinx～x)

=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2

=limx→012x2·(1+cosx这里类型三又分成2小类)x2=1

解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tanF(x)/G(x)=c，c为常数并且c≠0，则称F(x)和2x

=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4

=limx→02x(tanx-x)x44 (∵ tanx～x)

=limx→02(tanx-x)x3

=limx→02(sec2x-1)3x2

=23limx→0tan2xx2=23 (∵ tanx～x)

例4［3］ limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）

=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）

=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）

=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。

∵ x～sinx～tanx(x→0)

∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。

当x→0，且x≠0，则

x~ln(1+x)~(e^x-1);

(1-cosx)~xx/2;

[(1+x)^n-1]~nx;

loga(1+x)~x/lna;

a的x次方~xlna;

(1+x)的1/n次方~1/nx(n为正整数）；

注：^ 是乘方，~是等价于，这是我做题的时候总结出来的。

利用等价无穷小来求极限是一种很方便的方法，同时等价无穷小的知识也是一元微分学的基础知识之一。

为了用好等价无穷小，记住一些基本的等价无穷小公式是必要的。

当x→0，且x≠0，则

x--sinx--tanx--arcsinx--arctanx;

x--ln(1+x)--(e^x-1);

(1-cosx)--xx/2;

[(1+x)^n-1]--nx;

注：^ 是乘方，-- 是等价于。

参考资料：《高等数学》

（1） sinx～x（x→0） arcsinx～x（x→0）

（2） tanx～x （x→0） arctanx～x （x→0）

（3） ln(1+x)～x （x→0） e∧x —1～x （x→0）

（4） （1+小）∧a -1 ～ax（x→0）(a≠0)

1- cosx ～1／2x∧2 （x→0）

等价无穷小只有在x趋于0时才可以用么？如果不是，使用条件是什么呢？

等价无穷小不是只有x趋近于0的时候才能用，而是只有在函数值趋近于0，即函数式是无穷小的时候才能用，且被等价的无穷小是在乘除法中。

例如当x→1的时候，sin（x-1）和x-1这两个都是无穷小，而且等价。那么在x趋近于1的极限中，如果乘除法中出现了sin（x-1），可以等价替换成x-1。

而sin（x-1）在x→0的时候，不是无穷小，那么当x→0的时候，s从无穷小的比较里可以知道，如果lim b/a^n=常数，就说b是a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。特殊地，如果这个常数是1，且n=1，即lim b/a=1，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～bin（x-1）不能和无论是x还是x-1进行等价。

解答如下：

等价无穷小代换不是只能在X趋近于0时才能用的 等价无穷小

确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，

函数

值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(1/x)=0)，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。

例如，f(x)=(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

这里值得一提的是，无穷小是可以比较的：

假设a、b都是lim(x→x0等价无穷小)时的无穷小，

如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a）

如果lim b/a=∞，就是说b是比a低阶的无穷小。

比如b=1/x^2， a=1/x。x->无穷时，通俗的说，b时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。假如有c=1/x^10,那么c比a b都要高阶，因为c更快地趋于0了。

如果lim b/a^n=常数C≠0（k>0），就说b是关于a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。

等价无穷小在求极限时有重要应用，我们有如下定理：假设lim a～a'、b～b'则：lim a/b=lim a'/b'

根据上述定理 当x→0时 sin(x)～x (重要极限一) x+3～x+3 ，那么lim(x→0) sin(x)/(x+3)=lim(x→0) x/(x+3)=0

等价无穷小代换不是只能在X趋近于0时才能用的 等价无穷小

确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，

函数

值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(1/x)=0)，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。

例如，f(x)=(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

这里值得一提的是，无穷小是可以比较的：

假设a、b都是lim(x→x0)时例5的无穷小，

如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a）

如果lim b/a=∞，就是说b是比a低阶的无穷小。

比如b=1/x^2， a=1/x。x->无穷时，通俗的说，b时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。假如有c=1/x^10,那么c比a b都要高阶，因为c更快地趋于0了。

如果lim b/a^n=常数C≠0（k>0），就说b是关于a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。

等价无穷小在求极限时有重要应用，我们有如下定理：假设lim a～a'、b～b'则：lim a/b=lim a'/b'

根据上述定理 当x→0时 sin(x)～x (重要极限一) x+3～x+3 ，那么lim(x→0) sin(x)/(x+3)=lim(x→0) x/(x+3)=0

等价替换公式是什么？

=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）

等价替换公式如下：

解析

1、sinx~x

2、tanx~x

3、arcsinx~x

5、1-cosx~(1/2)（x^2）~secx-1

6、（a^x）-1~xlna (（a^x-1)/x~lna)

7、（e^x）-1~x

8、ln(1+x)~x

9、(1+Bx)^a-1~aBx

10、[(1+x)^1/n]-1~（1/n）x

11、loga(1+x)~x/lna

12、（1+x)^a-1~ax(a≠0)

复合函数的导数求法：

复合函数对自变量的导数，等于已知函2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

高等数学中,求无限数列极限,具体有哪几种方法?

例7

1、0 < 1/n^2 < 1/n 1/(n+1)=1/n-1/(n+1)

x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1);

夹逼定理（夹挤定理）

假如，你现在的分子极限不为0，为，1或者，2，或者其他数，

3、????你的问题是什么

3.x=0时sinx＝0，再由sinx的连续性可得

前两个可用幂级数来做

可以用洛比达法则，以后就知道了

lim函数极限的计算公式

等价无穷小就是等价替换

设 {Xn} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限，并记作，或Xn→a（n→∞）读作“当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋于 a”。

下面来介绍等价无穷小：

对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的性和有界性。如果数列{Xn}收敛，则其极限是的。如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n（n=1,2……），总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。

扩展资料：

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。即对于y=f(t)，t=g(x)，则y'公式表示为：y'=（f(t)）'（g(x)）'

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

如果存在极限的分式的分母的极限为0，那么分子的极限一定存在且为0吗？

等价无穷小：是无穷小的一种。在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。

是的。a/b的极限为0，b的极限也为0，则a=b.(a/b)是两个有极限的式子之积，按极限运算法则，有极限，且极限为两极限之积，即为0。

[(1+x)^1/n]-1~（1/n）x

扩展资料：

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限

4、利用无穷小的性质求极限

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限

7、利用两个重要极限公式求极限

是，首先

这个分式的极限是存在的，

其次

分母极限为0，

任意一个不为0的分子比上一个为0的分母，极限都是无穷大。

这（1+x)^a-1~ax(a≠0)意味着，这个分式不存在极限。

这就跟我们的条件违背了。

也因此，存在极限的分式，分母极限为0，且，分子极限存在并且为0.

是的。a/b的极限为0，b的极限也为0，则a=b.(a/b)是两个有极限的式子之积，按极限运算法则，有极限，且极限为两极限之积，即为0

一定，不然没有极限

是的 ，这样可以用洛必达法则0/0或者∞/∞

x趋向x0，函数值趋向0，即函数是无穷小

极限存在，若=2，则无穷小比阶=2，则分母分子同阶都是无穷小，分子肯定是趋向0的

求函数！！！！

例8

求函数极限方法的强合集

适用于各个阶段需要对函数极限的理解和复习，99%的函数极限都可以用以下方法来求，如果想深度学习，并了解高等数学，赶紧进来看一看吧，详细的函数极限解题方法，容易理解的解析，更多内容详情可以关注公众号知能行科技。

话不多说，直接进入主题吧！

首先将函数分为3种类型

首先讨论解种函数类型（这种懂了，后面就简单了！！）的3种方法

类型一

泰勒公式

洛必达法则

这里面的狗就是X，当X趋向于0时，这些函数可以直接被替换为X

注意点！！

1被代换的量，在取极限的时候极限类型二值为0；

2被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

3可整体代换，形如

有人可能会问不是加减的元素不可以替换吗?为什么你上面的有些狗是加减的呢？我来解释一下，为什么会这样。这里的加减是泰勒公式的简化版！视具体情况而变。详情请看②泰勒公式

等价无穷小是解决类型一常用的简便的一种方法。

例1

例2

往往使用等价无穷小，可以使式子变得非常的简洁，干净。

所以在一般情况下我们能使用等价无穷小替换，就先使用等价无穷小替换。

2.泰勒公式

形如

怎么理解呢，下面用几道题让大家感受一下这个过程

例4

相信大家对泰勒也有一定的了解了吧。

3.洛必达定理

主要有0/0型和∞/∞两种类型。遇到了求导即可。

例6

无穷大-无穷大型

化简为类型一即可。

看见类型二，记住化成类型一即可！！

类型三

类型三的种

使用2个重要极限之一的

这里也帮你回答了吧

下面就来进入实践当X趋向于0时，可以用若干项连加式来表示一个函数。吧

例9

类型三的第二种。

将函数写成指数形式，化为类型一

例10

这就是求函数极限的方法的强合集，至于具体运用和技巧在训练中逐步深入，去哪里训练呢，欢迎使用

这就是求函数极限的方法的强合集。

别看我现在写合集洋洋洒洒，学的时候看到极限就头皮发麻。

幸亏偶然发现了知能行，被机器人训练之后，现在看到求极限甚至有点小兴奋[

学数学光收藏没用，大家还是得动手练！