ysisofvariance基本概念方差分析的研究方法

作者：生活百科 • 更新时间2024-06-02 09:03:08 •阅读 1

方差分析（ysis of variance）基本概念

方差分析（ysis of variance）用于研究一个或多个分类型自变量与一个数值型因变量的关系。

方差分析通过检验多个总体的均值是否相等来判断一个或多个分类型自变量对数值型因变量是否由显著影响。

当方差分析中只涉及一个分类型自变量时称为单因素方差分析。

1）对于因素的每一个水平，其观测值是来自正态分布总体的简单随机样本。但是当每个水平对应的样本量较大时，对非正态性有一定容忍度。

2）因素的每一个水平，各个正态分布总体的方差σ 2 必须相等。当每个水平或分组对应的样本数量相等或相近时，ANOVA对方差相等的要求也不是特别敏感。

3）观测值是相互独立的。

注意：当满足假设1），那么每个水平的均值[图片上传失败...(image-6be2de-1634719989509)]

也服从正态分布，当同时满足假设2），那么在进行方差分析时，原假设各水平均值相等，等价于假设这些水平的均值来源于同一个正态分布。这是构造检验统计量的基础。

如果存在两个分类变量，需要分析是一个分类变量对因变量起作用，还是两个变量起作用，还是都不起作用。

（1）无交互作用或无重复双因素方差分析

两个因素是独立的，不存在联系。

对于三个因素的方差分析，分析方法与双因素类似，只不过交互效应种类更多，包括1个三因素交互效应，3个二因素交互效应。对于三因素交互效应，比如A×B×C，可以拆解为A×（B×C）。可见，二因素交互作用依赖于三因素交互作用。因此，在进行三因素方差分析时，应该先看是否有三因素交互作用，如果存在，按照某个因素（比如因素A）的不同取值拆分数据集，然后在不同数据集下分析二因素交互作用；如果不存在三因素交互作用，则对3个进行二因素方差分析，分别看是否有二因素交互作用。

而对于四个及以上的因素，进行方差分析时，由于因素组合太多了，导致不同分组均值差异的影响因素也太多了，能为我们提供的信息变得模糊。因此，四个因素及以上做方差分析意义不大。

对于一组样本，分别在不同试验条件下得出的多组数据，在观察者多组数据平均值是否有差异时，就需要使用重复ANOVA。

相比于常规ANOVA的方差分解，重复ANOVA的组内平方和包含了个体间的差异的平方和及误差两部分，因此，在构件统计量时，组内平方和需要剔除个体间平方和。原理如下图所示。

因此，如果成对样本得到的多组数据，仍然利用常规的ANOVA计算方法，结果倾向于不显著，也就是各组间无显著性差异。

重复ANOVA的统计量计算公式如下：

[图片上传失败...(image-c9a202-1634719989510)]

其中，s为组数，m为每组个体的数量。

方差分析只能告诉我们某个因素是否对结果有显著性的影响，但不能告诉我们具体哪些水平或水平组合对结果显著，因此需要进行事后检验（ post-hoc test），最常用的方法是Turkey-Kramer检验。

统计学中有一个描述来自同一正态总体的多组数据平均值与最小的两组的差值的分布，叫做学生范围分布（ Studentized range distribution ）。Turkey-Kramer检验依据的就是这个分布，这个分布由样本量，组数，样本的平均方差决定。给定显著性水平α，依据这个分布可以计算出一个阈值，只要被比较的两组数据的平均值之差大于这个阈值，就可以认为是显著的。这个阈值的计算公式如下：

[图片上传失败...(image-26c27d-1634719989509)]

其中，q α;k;N-k 代表给定显著性水平，组数，总样本数下，通过平均值和最小值的两组数据计算的学生范围分布下的阈值，MSE代表样本所有数据的波动情况，n i 和n j 为两个样本的数据量大小。

由于Turkey-Kramer检验的阈值是利用样本中平均值差距的两组数据计算而来的，这个阈值对于其他两组数据的平均值差比较保守，因此Turkey-Kramer检验牺牲了一定的统计功效。

此外，对于多个实验组与对照组进行比较，可以利用Dunnett 检验。比如对于四组数据（三组试验组，一个对照组），Dunnett 检验只需要比较三次，而Turkey-Kramer检验需要比较六次，所以Dunnett 检验为修正假阳性牺牲的统计功效更少。

在功效分析中，统计功效，显著性水平，效应大小和样本量，知道其中三个，另外一个就可以确定。给定方差分析的显著性水平，期望达到的统计功效和效应值，就可以确定样本量。

在方差分析中，效应值一般有两种表示形式，一种是Cohen氏 f 值：组间平方和与组内平方和比值再开方：

[图片上传失败...(image-8c95a2-1634719989509)]

Cohen本人在提出f值的时候也将其大约分成了小中大三个区间，在单因素ANOVA检验中，小效应对应f值在0.1左右，中效应对应的f值在0.25左右，大效应在0.4左右。

另外一种是η 2 ：组间平方和与总平方和比值再开方：

[图片上传失败...(image-55026d-1634719989509)]

在重复测量ANOVA实验设计时，采用的效应值大小应该考虑个体间差异，相应的效应值Cohen氏 f 值：

[图片上传失败...(image-be9667-1634719989509)]

0人点赞

方差分析法的方法

通常用方差（variance）表示偏差程度的量，先求某一群体的平均值与实际值差数的平方和，再用自由度除平方和所得之数即为方差（普通自由度为实测值的总数减1）。组群间的方差除以误差的方差称方差比，以发明者R.A.Fisher的第一字母F表示。将F值查对F分布表，即可判明实验中组群之差是仅仅偶然性的原因，还是很难用偶然性来解释。换言之，即判明实验所得之差数在统计学上是否显著。方差分析也适用于包含多因子的试验，处理方法也有多种。在根据试验设计所进行的实验中，方差分析法尤为有效。

我为什么不用ANOVA？

ANOVA （Analysis of variance）是Fisher在1918年发明的一种方差分析方法 [1] 。因为我们多数人在数理统计入门时重点学习过，所以最常使用。ANOVA有三大要求，使用前要逐一检验：

一旦不满足条件需要：

第一条没有问题。第二条，响应变量不服从正态分布才是合理的，图1，举例，前3列是一个处理的3个水平，单独时都服从正态，但混合分布（4列）就不是正态，而混合变量就是我们通常进行检验的响应变量。要清楚，无论什么转换，转换后怎么服从正态，根上就不对。第3条，方差不齐很常见，但似乎没有合适的方法来解决。

如果以上3个条件都满足，那么用ANOVA是没有问题的，得到的结果和线性模型的是一致的。这里我总结了ANOVA和线性模型的关系（图2）。ANOVA在最小枝，可见有多么局限。

是响应变量，是固定效应，和是随机的随机效应和残差；X和Z是固定和随机效应的关联矩阵。

线性模型的条件是和服从均值为0的正态分布。看见没，没有对有任何限制。针对ANOVA的第2条。

方差不齐怎么办？把效应结构化。什么意思呢？比如ANOVA要求水平1和水平2的方差相等：，如果不等的话就用一个对角矩阵

分别估计出每个水平的方差，这就是对效应的结构化。这样就解决了ANOVA的第3条限制。

哪些软件能拟合线性模型？图2里有。

如发现问题欢迎指正！

参考：许世忠教授的讲义。

方差分析的思想是什么？

方差分析的基本思想：

方差分析是在20世纪年代发展起来的一种统计方法，它是由英国统计学家费希尔在进行试验设计时为解释试验数据而首先引入的，根据所分析的自变量多少，方差分析一般包括单因素方差分析、双因素方差分析以及多因素方差分析。当方差分析中只涉及一个定类变量时，称为单因素方差分析。

举个例子进行说明：

用4种饲料喂猪，共19头猪分为4组，每组用1种饲料。一段时间后称重，比较4种饲料对猪体重增加的作用有无不同。

方差分析结果将从四个方面进行说明，其中包括方差分析结果、图示化、中间过程值以及效应量指标。

方差分析结果：

分析X与Y之间是否呈现出显著性(p值小于0.05或0.01)；如果呈现出显著性；通过具体对比平均值大小，描述具体差异所在。从上表可以看出p值小于0.05，所以不同饲料样本对于体重全部均呈现出显著性差异。及具体对比差异可知，有着较为明显差异的组别平均值得分对比结果为“B>A;C>A;D>A;C>B;D>B;D>C；D> C> B>A”。也就是说研究中D饲料的成效。

图示化

从折线图中可以看出四种不同饲料直接的体重是具体差异性的，而且饲料D效果。接下来对方差结果的中间过程值进行描述。

方差分析方法

方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)为数据分析中常见的统计模型，主要为探讨连续型资料型态之因变量与类别型资料型态之自变量的关系。当自变项的因子中包含等于或超过三个类别情况下，检定其各类别间平均数是否相等的统计模式，广义上可将T检定中方差相等（Equality of variance）的合并T检定（Pooled T-test）视为是方差分析的一种，基于T检定为分析两组平均数是否相等，并且采

用相同的计算概念，而实际上当方差分析套用在合并T检定的分析上时，产生的F值则会等于T检定的平方项